微积分二: 数列与级数 (中文版)

About this course: “微积分二：数列与级数”将介绍数列、无穷级数、收敛判别法和泰勒级数。本课程不仅仅满足于得到答案，而且要做到知其然，并知其所以然。

Created by:  The Ohio State University

• Taught by:  Jim Fowler, PhD, Professor

  Mathematics

Commitment 视频和测验共13小时 Language English, Subtitles: Chinese (Simplified) How To Pass Pass all graded assignments to complete the course. User Ratings 4.9 stars Average User Rating 4.9See what learners said Coursework

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Syllabus


WEEK 1


数列
欢迎参加本课程！我是 Jim Fowler，非常高兴大家来参加我的课程。在这第一个模块中，我们将介绍第一个学习课题：数列。简单来说，数列是一串无穷尽的数字；由于数列是“永无止尽”的，因此仅列出几个项是远远不够的，我们通常给出一个规则或一个递归公式。关于数列，有许多有趣的问题。一个问题是我们的数列是否会特别接近某个数；这是数列极限背后的概念。


18 videos, 5 practice quizzes expand

1. Video: 我该如何在这门课中取得成功？
2. Video: 数列是什么？
3. Video: 如何表示一个数列？
4. Video: 同一数列能以不同方式表示吗？
5. Practice Quiz: 数列是什么？
6. Video: 如何通过已有的数列构造新数列？
7. Video: 等差数列是什么？
8. Practice Quiz: 数列有哪些例子？
9. Video: 什么是等比数列？
10. Video: 数列的极限是什么？
11. Video: 看上去，一个数列的极限是什么？
12. Practice Quiz: 数列的极限是什么？
13. Video: 找出数列的极限容易吗？
14. Video: 对于某个 Epsilon，N 需要为多大？
15. Practice Quiz: 我们为什么关心？
16. Video: 对根号 2，数列有何作为？
17. Video: 数列什么时候有界？
18. Video: 数列什么时候递增？
19. Video: 单调收敛定理是什么？
20. Video: 单调收敛定理有什么用？
21. Practice Quiz: 数列可能有其他哪些属性？
22. Video: 是否有一个数列包括每一个整数？
23. Video: 存在一个包括所有实数的数列吗？

Graded: 数列

WEEK 2


级数
在这第二个模块中，我们将介绍第二个主要学习课题：级数。直观地说，将数列的项按照它们的顺序依次加起来就会得到“级数”。一个主要示例是“几何级数”，如二分之一、四分之一、八分之一、十六分之一，以此类推的和。在本课程的剩余部分我们将重点学习级数，因此如果你在有些地方感到疑惑，将会有大量时间来弄清楚。另外我还要提醒你，这个课题可能会令人感到相当抽象。如果你曾经为此困惑，我保证下一个模块提供的实例会让你感到豁然开朗。


14 videos, 3 practice quizzes expand

1. Video: 本模块讲什么？
2. Video: ∑ aₙ = L 是什么意思？
3. Video: 为什么 ∑ₖ₌₀∞ 1/2ᵏ = 2？
4. Video: 什么是几何级数？
5. Video: ∑ₖ₌ₙ∞ rᵏ 的值是多少？
6. Practice Quiz: 什么是级数？什么是几何级数？
7. Video: 裂项和级数的累和是多少？
8. Video: ∑ n/(n+1) 级数是收敛还是发散？
9. Practice Quiz: 什么是裂项级数？如何证明某些级数是发散的？
10. Video: 级数 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ 收敛或发散吗？
11. Video: ∑ sin² k / 2ᵏ 收敛或发散吗？
12. Video: 什么是比较审敛法？
13. Video: 如何通过分组来优化比较审敛法？
14. Video: ∑ 1/n² 是什么？
15. Practice Quiz: 什么是调和级数？更复杂的级数呢？
16. Video: 就何种意义而言 0.99999⋯ 等于1？
17. Video: 哪种意义下 ∑ 9⋅10ⁿ 有意义？

Graded: 级数

WEEK 3


审敛法
在第三个模块中，我们学习用于确定级数是否收敛的各种审敛法：特别地，我们将说明比值审敛法、根值审敛法和积分审敛法。


12 videos, 4 practice quizzes expand

1. Video: 本模块讲什么？
2. Video: 和n^5 / 4^n 收敛吗？
3. Video: 比值审敛法是什么？
4. Video: 比值审敛法适用于所有情况吗？
5. Practice Quiz: 比值审敛法是什么？
6. Video: 和 n! / n^n 收敛吗？
7. Video: n! 和 n^n 相比较如何？
8. Practice Quiz: 比值审敛法适用于哪些情况？
9. Video: 我为什么不喜欢根值审敛法？
10. Video: 求积分如何帮助我们解决收敛性问题？
11. Video: 还有什么方法可以证明调和级数发散？
12. Video: 和 1/n^p 收敛吗？
13. Practice Quiz: 根值审敛法是什么？积分审敛法是什么？
14. Video: 和 1/(n log n) 收敛吗？
15. Video: 只从一边搭桥能搭多远？
16. Practice Quiz: 什么是 p-级数？积木堆的垂悬部分可以多大？

Graded: 审敛法

WEEK 4


交错级数
在第四个模块中，我们讲解绝对和条件收敛、交错级数和交错级数审敛法，以及极限比较审敛法。简而言之，此模块分析含有一些负项和一些正项的级数的收敛性。截至目前为止，我们已经分析了含有非负项的级数；如果项非负，确定敛散性会更为简单，因此在本模块中，分析同时含有负项和正项的级数，肯定会带来一些新的难题。从某种意义上，此模块是“它是否收敛？”的终结。在最后两个模块中，我们将讲解幂级数和泰勒级数。这最后两个课题将让我们离开仅仅是敛散性的问题，因此如果你渴望新知识，请继续学习！


15 videos, 2 practice quizzes expand

1. Video: 本模块讲什么？
2. Video: 为什么我们假定每一项都是正的？
3. Video: 为什么绝对收敛就是一般收敛？
4. Video: 为什么绝对收敛是个重要的概念？
5. Video: 什么是条件收敛？
6. Video: 什么是交错级数？
7. Video: 交错级数审敛法是什么？
8. Practice Quiz: 什么是绝对收敛？
9. Video: 我怎么来检验一个级数的敛散性？
10. Video: 为什么单调性在交错级数审敛法中很重要？
11. Video: 交错级数为何重要？
12. Video: 为何 e 是无理数？
13. Video: 什么时候两个级数的敛散性相同？
14. Practice Quiz: 什么是交错级数？
15. Video: 为何可以直接写为 a_n (sum_n) 的累和 (a_n)？
16. Video: 为什么这一切如此含糊…或粗糙？
17. Video: 将条件收敛级数中的项重新排列会发生什么？

Graded: 交错级数

WEEK 5


幂级数
在第五个模块中，我们学习幂级数。截至目前为止，我们一次讲解了一种级数；对于幂级数，我们将讲解整个系列取决于参数 x 的级数。它们类似于多项式，因此易于处理。而且，我们关注的许多函数，如 e^x，也可表示为幂级数，因此幂级数将轻松的多项式环境带入棘手的函数域，如 e^x。


14 videos, 5 practice quizzes expand

1. Video: 什么是幂级数？
2. Practice Quiz: 幂级数简介
3. Video: 幂级数在什么情况下收敛？
4. Video: 为什么幂级数绝对收敛？
5. Video: 收敛区间有多复杂？
6. Practice Quiz: 为什么幂级数收敛？
7. Video: 如何寻找收敛半径？
8. Video: 收敛半径是无穷大会怎样？
9. Video: 收敛半径是 0 会怎么样？
10. Practice Quiz: 什么是收敛半径？如果我希望幂级数形式为 (x-c) 会怎样？
11. Video: 级数收敛中心为 a 是什么意思？
12. Video: 我能对幂级数求导吗？
13. Video: 幂级数可以求积分吗？
14. Video: 为什么我会相信可以将 e^x 展开成幂级数？
15. Video: 两个幂级数相乘会发生什么？
16. Practice Quiz: 我可以对幂级数进行微积分吗？
17. Video: 如果我转化 1/(1-x) 会如何？
18. Video: 斐波那契数的通项公式是什么？
19. Practice Quiz: 斐波那契数的通项公式是什么？

Graded: 幂级数

WEEK 6


泰勒级数
在最后一个模块中，我们介绍泰勒级数。与从幂级数开始并找到其代表的函数的更好描述不同，我们将从函数开始，并尝试为其寻找幂级数。无法保证一定会成功！但令人难以置信的是，许多我们最喜欢的函数都具有幂级数表达式。有时，梦想会成真。和许多梦想相似，多数不说为妙。我希望对泰勒级数的这一简介能激起你学习更多微积分的欲望。


12 videos, 2 practice quizzes expand

1. Video: 这最后一个模块讲什么？
2. Video: 有什么比线性近似更好的方法？
3. Video: 函数 f 在 0 附近的泰勒级数展开式是什么？
4. Video: f 在 a 点的泰勒级数是什么？
5. Video: 正弦函数在 0 附近的泰勒级数是什么？
6. Practice Quiz: 什么是泰勒级数？
7. Video: 泰勒公式是什么？
8. Video: 为什么1/(1+x^2) 的收敛半径这么小？
9. Video: 为什么泰勒定理看起来像增强版的中值定理？
10. Video: x 接近零时 cos(x) 的值大约是多少？
11. Video: 泰勒级数如何为考虑极限提供灵感？
12. Video: 什么是实解析函数？
13. Video: 实解析函数与全息图有何相似之处？
14. Practice Quiz: 这在实际中有什么用？在理论中有什么用？

Graded: 泰勒级数

WEEK 7


期末
期末测试是你展示我们一起所学东西的机会。你已经快要完成本课程。我要告诉你：成为你的数学导师之一我很荣幸，也很高兴。我非常喜欢我们一起学习本课程，并希望将来有更多课程。希望我们能再次见面。

Graded: 期末测验